1. $Group$ (群)

一个 $group$ (称 "$G$") 是一个集合，加上一个群乘法 “$\circ$”，且满足以下公理：

• 封闭性。$\mathrm{\forall }{g}_1,g_2\in G,g_1\circ g_2\in G$.
• 单位元（恒等变换）。$\mathrm{\exists }e\in G,s.t.\mathrm{\forall }g\in G,g=e\circ g=g\circ e$.
• 逆元（逆变换）。$\mathrm{\forall }g\in G,\mathrm{\exists }{g}^{-1}\in G,s.t.e=g^{-1}\circ g=g\circ g^{-1}$.
• 结合律。$\mathrm{\forall }{g}_1,g_2,g_3\in G,(g_1\circ g_2)\circ g_3=g_1\circ (g_2\circ g_3)$.

2. $2DRotation$ (二维旋转群)

2.1 $O(2)$ 和 $SO(2)$

考虑让二维平面的向量长度不变的变换($G^{T}G=I$)：包括旋转和反演。或者严格讲是保持内积不变的变换。

将位于原点的向量 $\overrightarrow{X}=(x,y{)}^T$ 绕 $O$ 逆时针旋转角度 $\theta$ 后，方向变为 ${\overrightarrow{X}}^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime }{)}^T$，记 ${\overrightarrow{X}}^{\prime }=R(\theta )\overrightarrow{X}$:

注意，如果旋转的是坐标系，向量方向坐标的变化也表示为 ${\overrightarrow{X}}^{\prime }=R(\theta )\overrightarrow{X}$ 的话，$R(\theta )$ 需要取逆。

关于 $x、y$ 轴的反演矩阵显然为：

此时矩阵乘法可以作为群乘法的一种表示方式。

> $O(2)$: 满足 $O^TO=I$

> $SO(2)$: 满足 $det(O)=1$ 的 $O(2)$群

"$O$"即"$orthogonal$"(正交), "$S$"即 $special$.

2.2 $U(1)$

> $U(1)$: 单位复数构成的群, 或者说 $U^*U=I$，或者说 $U=e^{i\theta}$

"$U$"即"$unitary$"(幺正,单位的,酉).

$U(1)$ 可以将二维平面的复数进行旋转，$e$ 指数上的 $\theta$ 就是上一节的二维实旋转的 $\theta$。即：

可见，任意复数对应的群元可以表示为矩阵形式：

于是复数的旋转可以表示为：

2.3 $U(1)$ 和 $SO(2)$

只取第一列：

其对应二维实旋转，当视为 $x,y\to a,b$.

> [!info] 同构
> 如果映射 $\Pi: G \rightarrow G^{\prime}$ 一一映射, 并且满足: 
> $ \forall g_{1}, g_{2} \in G,\ \Pi\left(g_{1}\right) \circ\Pi\left(g_{2}\right)=\Pi\left(g_{1} \circ g_{2}\right) 
> $
> 则 $\Pi$ 就是同构映射, 并且称 $G, G^{\prime}$ 是同构的。

显然 $U(1),SO(2)$ 是同构的。

注意, 我们没有讨论 $SU(1)$, 因为 $det(U)=1$ 得到 :

即 $SU(1)$ 只包含单位元，是一个平凡群。

3. $3DRotation$ (三维旋转群)

3.1 $O(3)$ 和 $SO(3)$

> $O(3)$: 满足 $O^TO=I$

> $SO(3)$: 满足 $det(O)=1$ 的 $O(3)$群

$SO(3)$ 群的基：

3.2 $SU(2)$ 和 四元数

定义三个虚数单位：

于是任意四元数 $q(quaternion)$ 可以表示为：

定义四元数之间的乘法：

这个定义和 ${\mathbf{i}}^2={\mathbf{j}}^2={\mathbf{k}}^2=-1$ 导致轮换性（注意轮换性和交换律不同），即：

定义单位四元数满足：

四元数单位的复矩阵表述（也可以用四维实矩阵）：

不难验证上式满足四元数乘法。这样任意一个四元数都可用矩阵表示为：

由上式可见

单位四元数对应的 $2\times 2$ 复数矩阵 $\mathcal{U}$ 满足：

$\mathcal{S}\mathcal{U}(2)$： $\mathrm{\forall }$ 单位四元数都唯一对应 $\mathcal{S}\mathcal{U}(2)$ 群中的一个群元。

3.2 $SO(3)$ 和 $SU(2)$

将三维向量 $\overrightarrow{v}=(x,y,z)$ 定义为如下四元数：

将旋转变换表示为（$U$ 为单位四元数）：

例如绕 $z$ 轴旋转和任意三维向量的矩阵形式为：

注意，这导致的旋转角将是 $SO(3)$ 的两倍。

> [!info] <font color="#ff0000">双覆盖</font>
>  $SU(2)$ 称为 $SO(3)$ 群的双覆盖，因为可以找到两个 $SU(2)$ 群元对应一个 $SO(3)$ 群元。这是因为 $SO(3)$ 的旋转角只有 $SU(2)$ 的一半，而旋转角有 $2\pi$ 的周期。

4. $LieAlgebra$ (李代数)

Lie 代数研究连续对称性

4.1 $SimpleDefinition$ (简要定义)

无限小变换根据 $Taylor$ 展开表示为：

$X$ 称为生成元。对于有限旋转 $\theta =Nϵ,N\to \mathrm{\infty }$:

即有限旋转都可以由 $e$ 指数表示。

> [!info] Lie 代数
>  群元是 $n \times n$ 矩阵 $Lie$群 $G$ 对应的的 $Lie$代数 $\mathfrak{g}$ 是满足如下条件的 $n \times n$ 矩阵 $X$ 的集合:
> $
> \mathrm{e}^{t \mathfrak{g}} \in G,\ t \in \mathbb{R}
> $

$Lie$ 群 $G$ 的乘法与 $Lie$ 代数 $\mathfrak{g}$ 结合法则由 $Baker-Campbell-Hausdorff$ 公式描述：

"[...]" 表示对易子或者说 $Lie$ 括号。

注意，对于 $Lie$ 代数的生成元，对易子封闭，而群乘法不具有封闭性：$\mathrm{\forall }X,Y\in \mathfrak{g},[X,Y]\in \mathfrak{g},X\circ Y\notin \mathbf{g}$. 这与 Lie 群不同。

4.2 $SO(3)$ 的生成元

根据 $SO(3)$ 群的定义：

以及任意群元 $O$ 对应的生成元 $J$：

得到 $J$ 满足：

第一个式子来自于 $O^{T}O=I$，并使用了 $[J^T,J]=0$（限制 $J\in$ 正规矩阵），第二个式子来自于 $det(O)=1$，并使用了 $det(e^A)=e^{tr(A)}$.

满足上式的三个线性无关的基是：

显然，将 $SO(3)$ 的三个基取 $\theta \to 0$ 留下一阶部分，再除以 $\theta$ 就是上式。

$J$ 满足对易关系：

类似的，$SO(2)$ 的生成元是：

容易利用 $e^{\theta J},cos(\theta J),sin(\theta J)$ 的 $Taylor$ 展开，从而由上式得到 $SO(2)$ 群元的矩阵形式就是二维旋转矩阵。

将 $J$ 乘以 $i\hslash$，就得到量子力学里生成元 (厄米矩阵，本征值为实数)。此时对易条件变为：

4.3 $AbstractDefinition$ (李代数的抽象定义)

> [!info] Lie 代数
> $Lie$ 代数是一个向量空间 $\mathfrak{g}$， 并配备一个二元运算 $[...]$: $\mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g}$, [...] 满足如下公理:
> - 双线性:  $\forall a, b \in \mathbb{R},\ \forall X, Y, Z \in \mathfrak{g},\ [a X+b Y, Z]=a[X, Z]+   b[Y, Z],\ [Z, a X+b Y]=a[Z, X]+b[Z, Y]$;
> - 反交换律:  $\forall X, Y \in \mathfrak{g},\ [X, Y]=-[Y, X]$;
> - Jacobi 恒等式:  $\forall X, Y, Z \in \mathfrak{g},\ [X,[Y, Z]]+[Z,[X, Y]]+[Y,[Z, X]]=  0$.

对易子、$Poisson$ 括号满足上述二元运算的定义。

注意，以上抽象定义的 $Lie$ 代数完全不依赖于 $Lie$ 群。

4.4 $SU(2)$ 的生成元和群元

设 $SU(2)$ 的生成元 $J$ 满足 $U=e^{i\theta J}$，得到：

满足这两个条件的基可以取为 $Pauli$ 矩阵：

令 $J_i=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_i$，它也满足上述两个要求, 并且有对易条件：

这与 $SO(3)$ 一致。

将其还原回 $Lie$ 群群元, 先定义旋转轴为单位向量 $\hat{n}=(n_x,n_y,n_z)$，旋转角度为 $\theta$，则群元可以写为：k

其中 $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }=n_x{\sigma }_x+n_y{\sigma }_y+n_z{\sigma }_z$。$Taylor$ 展开为：

于是关于 $x,y,z$ 方向旋转的群元分别为：

根据下式( 3.2 节)可以得到任意三维向量 $\overrightarrow{v}$ 在 $SO(3)$ 的旋转 :

4.5 李群的抽象定义

> [!info] $Lie$ 群
> $Lie$ 群是一个群, 也是一个微分流形。这个流形满足如下条件:
> - 群乘法。诱导出的从流形到流形自身的映射必须是可微的。这称为相容性条件，它保证了群定义与流形定义的兼容。例如，群 $G$ 的任意群元 $a$ 诱导出了从 $G$ 到 $G$ 的映射：给定 $\forall b \in G  ，  c \equiv a \circ b \in G$ ，映射 $a: b\in G \rightarrow c\in G$ 必须是可微的。
> - 流形中的任意点都有相应的坐标, 可以用坐标的语言表示上述内容: $c=a b$ 对应的坐标必须是 $b$ 的坐标的可微函数。

> [!info] 覆盖群
> 任一 $Lie$ 代数仅对应一个单连通 $Lie$ 群，该群称为覆盖群。（单连通： 流形上任意闭合曲线可以平滑地收缩为流形中的一点）

比如满足 $[J_i,J_j]=i\hslash {ϵ}_{ijk}{J}_k$ 的 Lie 代数对应的覆盖群是 $SU(2)$，其流形是一个三维单位超球面 $S^3$（四维球面），是单连通的，而 $SO(3)$ 是单位超球面的一半，是 $SU(2)$ 的商空间，非单连通。

总结：

5. 表示论

> [!info] 群的表示
>群 G 的一个表示 R 指的是从 *G* 到*某个向量空间 V 上的全体线性变换组成的集合*的映射：$R:\underset{\in G}{\underbrace{g} } \to R(g)$

$R(g)$表示某个矩阵变换，比如矩阵乘法。称 $R$ 为同态映射，当：

• $R(e)=I$，恒等群元对应恒等变换。
• $R(g^{-1})=R^{-1}(g)$，逆群元对应逆变换。
• $R(g)\circ R(h)=R(g\circ h)$，变换的结合律。

例如，对于三维向量空间 ${\mathbb{R}}^3$，旋转矩阵是 $SO(3)$ 的一种表示，或者说是 $SO(3)$ 到 ${\mathbb{R}}^3$ 上全体旋转变换的同态映射。

下面给出一些定义，为下一节做铺垫：

>[!info] 不变子空间 V'
> $
> \exists V'\subset V,\ s.t.\forall v\in V',g\in G,\ 满足\ R(g)v\in V'
> $

>[!info] 子表示 R'
> $
> R(g)v=R'(g)v,\ \forall v\in V',g\in G
> $

>[!info] <font color="#ff0000">不可约表示 R</font>
> R 不能分解为子表示，V 也不能分解成不变子空间

> [!info] Casimir 元
> Casimir 元（记作 C）对任意生成元 $X$ 都有
> $
> [C, X]=0
>$

> [!info] Schur 引理
> 给定一个不可约群表示 $R: \mathfrak{g} \rightarrow   G L(V)$，如果某个线性变换 $T: V \rightarrow V$（即 $T \in G L(V)$ ）与所有 $R(g), \forall g \in G$ 对易，则 $T$ 必为恒等变换的常数倍。其中 $G L(V)$ 表示向量空间 V 上所有线性变换的集合。

6. $SU(2)$ 的深入讨论

6.1 $SU(2)$ 的不可约表示

回顾 $4.4$ 节, 已经得到：

引入（升降算符）：

根据对易子性质得到:

注意, $SO(3)$ 中将定义中的 $\sqrt{2}$ 去掉, 即 $J_{\pm }=J_1\pm i{J}_2$, 第三式将变为 $[J_{+},J_{-}]=2\hslash J_3$ (多一个 $2$). 回顾 $SO(3)$ 的生成元以跟 $Pauli$ 矩阵做对比:

其升降含义是:

有限维空间中, $J_3$ 的本征值 $m$ 具有最大/小值 $-j$ 和 $j$ ($j$ 为整数 or 半整数), 其对应的本征态矢量为 $v_{max}/v_{min}$ , 则:

对应的 $2j+1$ 个本征态矢量张成了不变子空间 (或者称不可约表示空间), $J_{\pm }$ 为不可约表示.

若 $J_3$ 的本征值 $m$ 对应的本征态是 $|m⟩$, 则:

对于 $SO(3)$, 需要将上式中的 $\sqrt{2}$ 去掉.

6.2 $SU(2)$ 的 $Casimir$ 算符和群表示

$SU(2)$ 的 $Casimir$ 算符恰好是 $J^2=\sum _{i=1}^3{J}_i^2$ :

根据 $J^2=\sum _{i=1}^3{J}_i^2=J_{+}{J}_{-}+J_{-}{J}_{+}+J_3^2$ :

6.3 $SU(2)$ 的 $2j+1$ 维不可约群表示

我们以 $2j+1$ 作为群表示的维数, 可以区分不同维数的群表示 :

$SU(2)$ 的一维群表示是单位变换 $1$, 对应的生成元是 $0$. ($p59$)

二维群表示是 $\frac{\hslash }{2}{\sigma }_i$ , 简要推导过程如下 : 可以看出 $J_3$ 的本征值是 $-\frac{1}{2}\hslash ,\frac{1}{2}\hslash$ , 于是:

根据:

容易从 $|\pm j⟩$ 之一递推求得 $J_{1,2}=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_{1,2}$ .

三维群表示是类似的, 先根据 $J_3$ 的本征值是 $-\hslash ,0,\hslash$ , 得到:

进一步可以递推得到:

7. $O(1,3)$: $LorentzGroup$ (洛伦兹群)

7.1 $Definition$

> [!info] Lorentz 群 $\Lambda$
> 洛伦兹群的作用对象是四维 $Minkowski$ 空间, 并且保持其内积不变: $x^\mu \to x'^\mu = \Lambda^\mu_\nu x^\nu   \ \Rightarrow\     x'^\mu\eta_{\mu\nu}x'^{\nu}=x^\mu\eta_{\mu\nu}x^{\nu}$

上述定义等价于:

或者写成矩阵形式 :

对上式取行列式可得：

取度规的 $\mu =\nu =0$ 分量 :

根据上述两个约束的正负可以把 $Lorentz$ 群分成 $4$ 个分支。不涉及坐标反演的两个分支满足 $\det (\mathrm{\Lambda })=+1$.

> [!info] $SO(1,3)^\uparrow$
> 满足 $\operatorname{det}(\Lambda) = 1$ 和 $\Lambda^0_0\geq 0$ 称为正规 $Lorentz$ 群 $SO(1,3)^\uparrow$.

引入宇称变换和时间反演变换 :

于是 $O(1,3)$ 可以表示为四个分支的集合:

7.2 $SO(1,3{)}^{\uparrow }$的生成元

考虑无穷小变换 :

使其满足 ${\mathrm{\Lambda }}_{\mu }^{\sigma }{\eta }_{\sigma \rho }{\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\rho }={\eta }_{\mu \nu }$, 显然意味着 $\det (\mathrm{\Lambda })=1,{\mathrm{\Lambda }}_0^0=\sqrt{1+\sum _{i\ne 0}{\left({\mathrm{\Lambda }}_0^i\right)}^2}$, 即对应 $SO(1,3{)}^{\uparrow }$ .

代入 ${\mathrm{\Lambda }}_{\mu }^{\sigma }{\eta }_{\sigma \rho }{\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\rho }={\eta }_{\mu \nu }$ , 并忽略 ${ϵ}^2$ 得到 :

英文中常常称 $Lorentz$ 变换为 "boost", 先考虑关于 $x$ 轴的 $boost$, 即 $y^{\prime }=y,z^{\prime }=z$, 其生成元可以假设为 :

代入 $K^T\eta +\eta K=0$ 得到 :

类似的有 :

根据 ${\mathrm{\Lambda }}_x=e^{\varphi K_x}$ 可以得到 $Lie$ 群表示, 注意到 $k_x^2=I_{2\times 2}$ :

即 :

7.3 $O(1,3)$ 的生成元

从 $7.1$ 节已知 :

${\mathrm{\Lambda }}_{P}SO(1,3{)}^{\uparrow }$ 的生成元 $K_{i(P)},i=x/y/z$ 可由 $SO(1,3{)}^{\uparrow }$ 的生成元计算得到 :

类似的 :

相比之下, 无论是宇称变换还是时间反演, $J_i$ 都不会改变.

7.4 $SO(1,3{)}^{\uparrow }$ 的 $LieAlgebra$

$SO(1,3{)}^{\uparrow }$ 的 $Lie$ 群元陈列如下 :

注意上述六个矩阵都已乘以 $i$, $J$ 为厄密矩阵, 而 $K$ 为对称矩阵. 可以得到其 $LieAlgebra$ 是：

定义新的生成元 :

带来的好处是对易运算得到封闭, $N^{+}$ 和 $N^{-}$ 对应的正是 $SU(2)$ 的生成元:

至此我们将 $SO(1,3{)}^{\uparrow }$ 拆成了两个 $SU(2)$ 的 $LieAlgebra$.

7.5 $SO(1,3{)}^{\uparrow }$ 的群表示

(1). $(0,0)$ 表示

所谓 $(0,0)$ 表示, 就是 $N^{+}$ 和 $N^{-}$ 都是 $1$ 维表示, 而这两者都是 $SU(2)$ 的生成元, 因此自然都是 $0$, 对应的 $Lie$ 群元是单位元 $e^0=1$, 作用对象是洛伦兹标量(1-分量).

(2). $(\frac{1}{2},0)$ 表示

所谓 $(\frac{1}{2},0)$ 表示, 就是 $N^{+}$ 是 $2$ 维表示, 而 $N^{-}$ 是 $1$ 维表示, 显然:

于是得到:

求 $Lorentz$ 群元, 比如绕 $x$ 轴旋转 :

以及关于 $z$ 轴的 $boost$ :

(3). $(0,\frac{1}{2})$ 表示

类似的, 所谓 $(0,\frac{1}{2})$ 表示, 就是 $N^{+}$ 是 $1$ 维表示, 而 $N^{-}$ 是 $2$ 维表示, 同样:

得到:

这里的 $K_i$ 与 $(\frac{1}{2},0)$ 表示的结果相差一个负号, 隐含有宇称变换的意味.

(4). $VanderWaerden$ 符号

$Weyl$ 旋量

$(\frac{1}{2},0)$ 表示所作用的 $2$ 分量对象称为左手旋量, $(0,\frac{1}{2})$ 表示所作用的 $2$ 分量对象称为右手旋量, 它们统称为 $Weyl$ 旋量 :

它们也可以用 $VanderWaerden$ 符号表示 :

上标 $\dot{a}$ 上的点表示取复共轭. 用二阶 $Levi-Civita$ 符号定义旋量度规为 :

再定义一个新的旋量( 上角标 $\ast$ 表示复共轭 ) :

在 $boost:{\chi }_L\to {\chi }_L^{\prime }=e^{\overrightarrow{\varphi }\cdot \overrightarrow{\sigma }/2}{\chi }_L$ 下, 看看这个新旋量的表现 :

也就是说, ${\chi }_L^C$ 如同右手旋量一样变换, 这表明它是右手旋量. 把其视为正常的右手旋量, 反过来定义一个新的左手旋量为 :

显然旋量度规可以用作对 $VanderWaerden$ 符号升降指标的运算, 上述的定义的两个新的旋量就可以表示为 :

${\chi }_L={\chi }_a,{\chi }_R={\chi }^{\dot{a}}$ 的 $Lorentz$ 变换形式根据 $Weyl$ 旋量的定义是显然的,

而 ${\chi }_{\dot{a}},{\chi }^a$ 的 $Lorentz$ 变换形式可根据以上两式得到 :

注意到 ${\sigma }_i^{†}={\sigma }_i$, 则可以证明 ${\chi }^a{\chi }_a$ 是 $Lorentz$ 不变量 :